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配点 : 700 点
問題文
今日のすぬけ君のおやつは B 個の黒いチョコレートと W 個の白いチョコレートです。
すぬけ君は以下の手続きをチョコレートがなくなるまで繰り返します。
- 黒か白を等確率で選び、選んだ色のチョコレートが存在するなら 1 つ食べる。
1 以上 B+W 以下の各整数 i について、すぬけ君が i 番目に食べたチョコレートの色が黒である確率を求めてください。 これらの確率は有理数となることが示せます。これらを注記で述べるように modulo 10^{9}+7 で出力してください。
注記
有理数を出力する際は、まずその有理数を分数 \frac{y}{x} として表してください。ここで、x, y は整数であり、x は 10^9 + 7 で割り切れてはなりません (この問題の制約下で、そのような表現は必ず可能です)。そして、xz \equiv y \pmod{10^9 + 7} を満たすような 0 以上 10^9 + 6 以下の唯一の整数 z を出力してください。
制約
- 入力は全て整数である。
- 1 \leq B,W \leq 10^{5}
入力
入力は以下の形式で標準入力から与えられる。
B W
出力
答えを B+W 行に出力せよ。i 行目ではすぬけ君が i 番目に食べたチョコレートの色が黒である確率を注記で述べるように modulo 10^{9}+7 で出力せよ。
入力例 1
2 1
出力例 1
500000004 750000006 750000006
- チョコレートを食べる順序としてありうるものは以下の 3 通りで、そのような食べ方が生じる確率はそれぞれ \frac{1}{2}, \frac{1}{4}, \frac{1}{4} です。
- 白、黒、黒
- 黒、白、黒
- 黒、黒、白
- よって、1 番目、2 番目、3 番目に食べたチョコレートが黒である確率はそれぞれ \frac{1}{2},\frac{3}{4},\frac{3}{4} です。
入力例 2
3 2
出力例 2
500000004 500000004 625000005 187500002 187500002
- それぞれ \frac{1}{2},\frac{1}{2},\frac{5}{8},\frac{11}{16},\frac{11}{16} です。
入力例 3
6 9
出力例 3
500000004 500000004 500000004 500000004 500000004 500000004 929687507 218750002 224609377 303710940 633300786 694091802 172485353 411682132 411682132
Score : 700 points
Problem Statement
Today, Snuke will eat B pieces of black chocolate and W pieces of white chocolate for an afternoon snack.
He will repeat the following procedure until there is no piece left:
- Choose black or white with equal probability, and eat a piece of that color if it exists.
For each integer i from 1 to B+W (inclusive), find the probability that the color of the i-th piece to be eaten is black. It can be shown that these probabilities are rational, and we ask you to print them modulo 10^9 + 7, as described in Notes.
Notes
When you print a rational number, first write it as a fraction \frac{y}{x}, where x, y are integers and x is not divisible by 10^9 + 7 (under the constraints of the problem, such representation is always possible). Then, you need to print the only integer z between 0 and 10^9 + 6, inclusive, that satisfies xz \equiv y \pmod{10^9 + 7}.
Constraints
- All values in input are integers.
- 1 \leq B,W \leq 10^{5}
Input
Input is given from Standard Input in the following format:
B W
Output
Print the answers in B+W lines. In the i-th line, print the probability that the color of the i-th piece to be eaten is black, modulo 10^{9}+7.
Sample Input 1
2 1
Sample Output 1
500000004 750000006 750000006
- There are three possible orders in which Snuke eats the pieces:
- white, black, black
- black, white, black
- black, black, white
- with probabilities \frac{1}{2}, \frac{1}{4}, \frac{1}{4}, respectively. Thus, the probabilities of eating a black piece first, second and third are \frac{1}{2},\frac{3}{4} and \frac{3}{4}, respectively.
Sample Input 2
3 2
Sample Output 2
500000004 500000004 625000005 187500002 187500002
- They are \frac{1}{2},\frac{1}{2},\frac{5}{8},\frac{11}{16} and \frac{11}{16}, respectively.
Sample Input 3
6 9
Sample Output 3
500000004 500000004 500000004 500000004 500000004 500000004 929687507 218750002 224609377 303710940 633300786 694091802 172485353 411682132 411682132